El Teorema Fundamental del Cálculo

septiembre 22, 2011 — Enrique M.Cabello

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado. (Ver reseña histórica).

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de «loncha» sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la «loncha». Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y «hallar el área» bajo su curva son operaciones «inversas», es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

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Reseña histórica del Cálculo Infinitesimal

septiembre 15, 2011 — Enrique M.Cabello

Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado – en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió escencialmente en el siglo XVII. Comenzaremos por tanto desde el principio.

Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algun modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos que Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuancias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente […] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fué Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristotéles quien hizo el primer uso «racional» del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

No obstante, fue obviamente Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente -o quiza por suerte, quién sabe- su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método «mecánico» donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 como ya hemos tenido ocasión de contar en la sección dedicada a los griegos-. La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un método semejante. Como primer libro de esta sección colocaremos, por tanto, la Opera Omnia de Arquímedes que ya vimos antes. Se trata de la edición de 1911 debida a Heiberg. Esta abierta justo en la página donde Arquímedes describe el método de sus infintos segmentos para cuadrar la parábola usando una palanca y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que ambas figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas.

Como ya mencionamos una razón importante de la aparición del cáclulo fue la aparición de una adecuada representación para los números. Se trata de la representación decimal -cuyo primer registro escrito en el mundo occidental mostramos en la sección dedicada a las matemáticas en la península ibérica-. Junto a Viète, uno de los principales impulsores de la idea fue Simon Stevin del cual admiramos Les oubres mathematiques (Leiden, 1634) especialmente abierto en la primera página de La Disme donde Stevin desarrolla si aritmética decimal. También Stevin uso distintos argumentos infinitesimales para calcular centros de gravedad, pero eso lo veremos más adelante. No obstante fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes -ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas, por ejemplo admírese la preciosa edición de las obras de Arquímedes debida a Wallis (arriba a la izquierda) justamente abierta éste da su famosa estimación de Pi usando polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circuneferencia- que desembocó en el nacimiento del cálculo. Aunque también ayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnólogicos- y fué el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar pruebas rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristótelicas de las que ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat.

La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos y específicos para cada curva procedimientos geométricos.

De los dos inventores de la geometría analítica, uno es más conocido como filósofo: Renato Descartes. Presentó su geometría junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. El otro inventor de la geometría analítica, Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas: probablemente el mejor aficionado que ha visto la historia, sin duda superior a muchos profesionales. Intervino de hecho en todas las ramas de las matemáticas que se crearon en el siglo XVII, y no fueron pocas. Fermat no publicó, sin embargo, casi nada: sus obras aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo. Mostraremos aquí un ejemplar de la primera edición (Leiden, 1637) del Discours de la Methode… la obra más célebre de Descartes y una de las obras filosóficas más famosas jamás escrita que como ya dijimos antes servía de prólogo a tres obras de este autor -entre las que se incluía su Geómetrie-. A la derecha podemos apreciar una de las tantas ediciones que más tarde se realizaran de la Geometría ya separada del resto de sus originales compañeras.

Otra razón no menos importante es que, como ya mencionamos, en el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos que los griegos les habían tenido: Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante
se debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mécanico -y desconocido en aquella época- de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consigió ya que el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-. Las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rapidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y Roberval. Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius al que ya encontramos en el apartado de astronomía reformando el calendario. Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum de cuya primera edición de 1647 podemos admirar un ejemplar (izquierda). En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de sus aportaciones más valisosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos. Este resultado es el que justamente podemos admirar en la foto de su obra ya mencionada.

Nuestro próximo personaje es John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió una Gramática inglesa -como ya antes ya había hecho Nebrija con la castellana-. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores númericos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-. Es curiosa la opinión que él mismo profesaba de sus métodos: «Este procedimeinto es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido métodos de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce máuseas al lector. Cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba», escribió en su Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta y su intuición llegó a calcular el área de todas las parabolas generalizadas x^rcon r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi

Pi _₌ 2·4·4·6·6·8·8····

4 1·3·3·5·5·7·7····

Presentamos aquí una foto de la portada del libro De Algebra tractatus correspondiente a su primera edición latina de 1693 contenido en su Operum mathematicorum. El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:

	Método de Exhausión (Arquímedes)
	Método de los indivisibles (Cavalieri)
	Aritmética de los infinitos (Wallis)
	Métodos de las series infinitas (Newton)

Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas consituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, … siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, como ya comentamos, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo. Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos -tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces- fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área -lo hizo Saint-Clement- y su tangente, etc. Mostramos a la derecha un ejemplar de la segunda edición de la obra de Napier Logaritmorum canonis descriptio … de 1619 que incluía una explicación detallada de como se ha de elaborar una tabla de logaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos paar calcular tangentes. Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dió el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII y el mejor matemático aficionado de la historia -y no precisamente por su «larga» demostración que no entraba en el estrecho margen de la obra de Diofanto y que le ha hecho famoso fuera del círculo estrictamente matemático- por sus contribuciones importantes en casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo. Mostramos aquí una foto de la portada de su Varia opera matemathica publicada póstumamente por su hijo en 1679.

Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin éxito siendo Leibniz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento escencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia y razón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.

Pero pasemos ya al Cáculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marcho de su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-. En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental del cálculo. Podemos admirar el comienzo de esa lección así como la figura 109 directamente relacionada con el teorema que Barrow explica como que el valor de la pendiente de la tangente en F a VIFI se corresponde con el segmento DE, o sea, si trazamos la tangente a la curva cuadratriz VIFI en un punto, se obtiene como pendiente para esta recta tangente el valor de la curva inicial en ese punto.

En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación-y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo

El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711 -contémplese una foto de la portada de su primera edición donde además admiramos el cálculo del área bajo la parábola x ^m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas-. Nótese además la aparición de las famosas Expistola prior y posterior, sendas cartas dirigidas a Leibniz. En ambas Newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema del binomio-, en la primera, e incomprensiblemente, en la segunda, su método de cálculo. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 despues de escrita!. Se trata de De methodis serierum et fluxionum. En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencinado Teorema fundamenal del cálculo-. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas «pocas» páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores. En la figura de la izquierda podemos admirar una página de dicho libro, abierto por la página donde Newton «destroza» la concoide de Nicómedes con su nuevo método de cálculo. Una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué Newton tardó tanto en publicar sus resultados? A parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus contemporáneos, Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. Este temor también está patente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométrico más riguroso -y obscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla para derivar productos-.

Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos-. Durante una estancia en París -ya que era un afamado diplomático- Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título «Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas«. En este artículo de 6 páginas -e incomprensible como el mismo luego reconoce- Leibniz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo diferencial -«un enigma más que una explicación» dijeron de él los hermanos Bernoulli-. También el él Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se llamó «Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos«, también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos -en en primero introduce la notación «dx» para el diferencial-. Encima a la derecha podemos admirar este trabajo aunque por razones tipográficas en vez de la S alargada para la integral aparece una especie de f.

Como colofón a estas páginas y a nuestra Exposición virtual dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. Las suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto básandose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibniz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del Análisis no estándard de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el mismo Newton le había indicado que existían en sus Epistolae– además que en Holanda -como le aseguró Wallis- se atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de Leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó el Marquéz de L’Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli y de cuya primera edición podemos admirar una foto -nótese que no aparece el nombre de su autor por ningún sitio-.

La respuesta de los segidores de Newton no se hace esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis -que ya vimos antes- la correspondencia cursada con Leibniz las Epistolas prior y posterior donde este pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega «En una carta escrita a Sr. Leibniz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilineas […] Hace años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión ». La respuesta de Leibniz no se hizo esperar.
En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: Leibniz- en 1705 en las Actas se dice «Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser concidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias […] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L’Hospital. En vez de las diferencias leibnizianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones» donde queda patente la alusión a Leibniz y sus discípulos y a Newton sin que esté claro si éste es uno de aquellos. Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibniz de plagio. Tras la protesta de Leibniz la Royal Society nombra una comisión -que resultó estar plagada de amigos de Newton- que luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibniz -aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda guerra duró hasta principios del siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana -que hasta el momento habían ignorado-, con gran perjuicio para los matemáticos ingleses ya que la matemática inglesa quedó aislada del resto de la del continente.

Para cerrar nuestra exposición vamos a relatar, a modo de ejemplo de la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona. El problema consistía en determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. Este problema ya interesó en su día a Galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para resolverlo se precisaba del cálculo-. La historia es como sigue. En el número de junio de 1696 de las Actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del mundo -este reto lo podemos ver en la foto a la izquierda de dicho artículo de Bernoulli-. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue de seis meses pero a petición de Liebniz se amplió para que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron cinco soluciones: una de Leibniz, una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo, una del conde Walter de Tschirnhaus, del Marquéz de L’Hospital y una anónima. Todas, excepto la de L’Hospital daban con la solución: la cicloide. ¿Quién era ese autor anónimo que escogió las Philosophical Transactions para publicar su genial solución que sólo contenía 67 palabras? -la cual podemos admirar en la foto de la derecha-. Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernulli exclamara «tanquam ex ungue leonen», algo así como «¡reconozco al león por sus garras!» pues claro está que era Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia. Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una carta de Leibniz a Juan Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro está-. Incluso años después, ya en plena polémica, Leibniz en una reseña a la solución del problema afirmaba el problema no podía ser resuelto sin la ayuda de su recién inventado método que sólo aquellos que habían profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos eran los Bernoulli, L’Hospital y Newton. Este juego de palabras de Leibniz donde se podía deducir que Newton era un discípulo de suyo fue el otro gran detonante de la guerra que ya mencionamos antes de Duillier.

Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no «hacía ciencia» sino que se trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya había pensado en ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dió Augusto de Morgan «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho».

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Cómo resolver ecuaciones diofánticas

septiembre 14, 2011 — Enrique M.Cabello

Este artículo ha sido promovido en Menéame.

Motivación

Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:

Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color?

Vamos a plantearlo:

$\{trajes \; negros \}=x$
$\{trajes \;grises \}=12-x$ $\{precio \; de \; un \; traje \; gris \}=y$
$\{precio \; de \; un \; traje \; negro \}=y+30$

La ecuación queda:

$x(y+30)+(12-x)y=1200$

Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:

$30x+12y=1200$

Si estabais pensando que nos iba a quedar un sistema de ecuaciones sencillo de resolver estáis equivocados. Nos ha quedado una única ecuación con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla. Bienvenidos al maravilloso mundo de las ecuaciones diofánticas.

Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que aparecen varias variables cuyas soluciones son números enteros. Es decir, resolver una ecuación diofántica consiste en determinar qué números enteros la cumplen. Su nombre lo toman del matemático Diofanto de Alejandría, quien, además de ser uno de los primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de estas ecuaciones

Las ecuaciones diofánticas del tipo anterior se denominan ecuaciones diofánticas lineales. Este caso particular de este tipo de ecuaciones es el que vamos a aprender a resolver en este artículo. Más concretamente, vamos a mostrar (y demostrar) un método para calcular las soluciones enteras de la ecuación

$ax+by=n$

con $a,b,n \in \mathbb{Z}$ .

Existencia de soluciones

El primer resultado que vamos a ver y demostrar tiene que ver con la existencia de soluciones de estas ecuaciones. Vamos con él:

Teorema:

Una ecuación lineal diofántica de la forma $ax+by=n$ tiene solución entera $x_0,y_0$ si y sólo si el máximo común divisor de $a$ y $b$ es un divisor de $n$ .

Además, si llamamos $d$ al $mcd(a,b)$ se tiene que una solución particular de dicha ecuación puede obtenerse de la siguiente forma:

$\begin{matrix} x_0=\frac{n}{d} \cdot \alpha \\ y_0=\frac{n}{d} \cdot \beta \end{matrix}$

siendo $d=\alpha a + \beta b$ .

Demostración:

1.- Comenzamos con la implicación de izquierda a derecha:

Si la ecuación

$ax+by=n$ (1)

tiene solución entera, entonces existen $x_0,y_0 \in \mathbb{Z}$ tales que $ax_0+by_0=n$

Como $d$ es un divisor común de $a$ y $b$ , entonces $a=a_1 d$ y $b=b_1 d$ , con $a_1,b_1 \in \mathbb{Z}$ .

Tenemos entonces lo siguiente:

$ax_0+by_0=a_1dx_0+b_1dx_0=(a_1x_0+b_1y_0)d=n$

Es decir, nos queda una expresión del tipo $kd=n$ , con todos ellos números enteros. En consecuencia tanto $k$ como $d$ deben dividir a $n$ , concluyendo así esta parte de la demostración.

2.- Vamos ahora con la implicación de derecha a izquierda, obteneidno como bonus el además:

Supongamos ahora que $d$ es un divisor de $n$ . Entonces existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $n=kd$ . Por otra parte, por el teorema de Bezout existen $\alpha, \beta \in\mathbb{Z}$ tales que $d=\alpha a + \beta b$ . Multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por $k$ :

$kd=k \alpha a + k \beta b=n$

De donde obtenemos

$(k \alpha)a+(k \beta)b=n$

Con lo que hemos llegado a que $k \alpha$ y $k \beta$ son soluciones de la ecuación (1).

Entonces:

$\begin{matrix} x_0=k \alpha =\frac{n}{d} \cdot \alpha \\ y_0=k \beta=\frac{n}{d} \cdot \beta \end{matrix}$

es una solución de la ecuación (1), que es lo que queríamos demostrar. $\Box$

Lo que hemos conseguido hasta ahora es saber reconocer qué ecuaciones diofánticas lineales tienen soluciones y calcular una solución particular de las mismas. Pero queremos una solución general, es decir, todas las soluciones de las ecuaciones diofánticas lineales que se puedan resolver. A ello vamos en el siguiente punto.

Solución general de una ecuación diofántica lineal

Vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

Si $x_0,y_0 \in\mathbb{Z}$ es una solución particular de la ecuación

$ax+by=n$ (1)

entonces todas las soluciones enteras $xy$ de la misma son de la forma:

$\begin{matrix} x=x_0+\frac{b}{d} \cdot t \\ y=y_0-\frac{a}{d} \cdot t \end{matrix}$ (2)

con $t \in\mathbb{Z}$ , siendo $d=mcd(a,b)$ .

Demostración:

Si $x_0,y_0$ es solución de la ecuación (1), entonces se cumple que $ax_0+by_0=n$ . Pero entonces las expresiones de (2) también son solución de dicha ecuación:

$a \left ( x_0+\frac{b}{d}t \right )+b \left ( y_0-\frac{a}{d}t \right )=ax_0+by_0+a \frac{b}{d} t-b \frac{a}{d} t=n$

Faltaría ver entonces que todas las soluciones de (1) son de la forma que hemos descrito en (2). A por ello vamos:

Partiendo de la solución particular anterior $x_0,y_0$ , supongamos que tenemos una solución $x,y$ de la ecuación diofántica lineal (1). Tenemos entonces las dos ecuaciones siguientes:

$\begin{matrix} ax+by=n \\ax_0+by_0=n \end{matrix}$

Restamos las dos ecuaciones, obteniendo

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

Pasando el segundo sumando al otro miembro de la igualdad llegamos a

$a(x-x_0)=b(y_0-y)$ (3)

Dividimos ahora por $d$ :

$\frac{a}{d} (x-x_0)=\frac{b}{d} (y_0-y)$

Como $\textstyle{\frac{a}{d}}$ y $\textstyle{\frac{b}{d}}$ son números enteros primos relativos (ya que al dividirlos entre su máximo común divisor les hemos quitado los factores que tuvieran en común en un principio), y $\textstyle{\frac{a}{d}}$ divide a $\textstyle{\frac{b}{d}} (y_0-y)$ , debe cumplirse que $\textstyle{\frac{a}{d}}$ divida a $(y_0-y)$ .

Esto nos lleva a que debe existir $t\in\mathbb{Z}$ tal que:

$y_0-y=\frac{a}{d} t$

De donde obtenemos que $y$ debe ser de la forma:

$y=y_0-\frac{a}{d} t$ , con $t\in\mathbb{Z}$

Sustituyendo este valor de $y$ en la ecuación (3) llegamos, después de unos sencillos cálculos, a la expresión buscada para $x$ :

$x=x_0+\frac{b}{d} t \quad \Box$

Ejemplo práctico

Volvamos a nuestro amigo el de los trajes. Nos quedamos en la ecuación diofántica lineal siguiente:

$30x+12y=1200$

Vamos a ver si somos capaces de encontrar cuántos trajes de cada color compró este señor.

Como $mcd(30,12)=6$ es un divisor de $1200$ nuestra ecuación tiene soluciones. Para obtener $\alpha$ y $\beta$ debemos utilizar el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor junto con la identidad de Bezout, citada anteriormente. En este caso se obtiene

$6=30-12 \cdot 2$

por lo que $\alpha=1$ y $\beta=-2$ .

Entonces la solución particular queda de la siguiente forma:

$\begin{matrix} x_0=\frac{1200}{6} \cdot 1=200 \\ y_0=\frac{1200}{6} \cdot (-2)=-400 \end{matrix}$

A partir de esto ya es sencillo encontrar todas las soluciones:

$\begin{matrix} x=200 +\frac{12}{6} \cdot t=200+2t \\ x=-400-\frac{30}{6} \cdot t=-400-5t \end{matrix}$

En principio estas expresiones nos dan todas las soluciones del problema, pero todavía no hemos terminado. Hay que tener en cuenta más cosas. Analizando los datos obtenidos sabemos que el número de trajes negros que ha comprado es $T_N=200+2t$ , por lo que el número de trajes grises comprados es $T_G=12-T_N=12-200-2t=-188-2t$ .

Teniendo en cuenta que el número de trajes de cada tipo comprados por nuestro amigo debe ser positivo y menor que 12 se tiene lo siguiente:

Por tanto, los únicos valores posibles para $t$ son $t=\{-99,-98,-97,-96,-95 \}$ .

Pero el enunciado también decía que ha comprado el mínimo número de trajes grises posibles. Probando con los valores anteriores esta condición se cumple para $t=-95$ . En consecuencia el protagonista de nuestro problema compró $-188-2 (-95)=2$ trajes grises y $12-2=10$ trajes negros.

Fuente de la demostración:

Álgebra y Matemáticas Discretas I, de Carmen Moreno Valencia.

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Fracciones algebraicas

septiembre 10, 2011 — Enrique M.Cabello

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Para trabajar una actividad interactiva pulsa aquí.

Supongamos que deseamos simplificar una fracción algebraica:

Otro:

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Polinomios (curiosidades) El número perdido de Lost

septiembre 9, 2011 — Enrique M.Cabello

Cada día hay más gente enganchada a Lost que ya ha visto las dos primeras temporadas y está esperando a que llegue el 4 de octubre para que empiece la tercera temporada en Estados Unidos y poder empezar a ver los capítulos gracias a nuestro amigo Emule.

Pues bien, el parón veraniego no ha sido tan duro para la gente de USA y Reino Unido, ya que los creadores de Lost han propuesto un juego Online llamado Lost Experience, donde a cada prueba superada podía verse un mini-video que explicaba alguna cosa sobre los números y sobre la iniciativa Dharma.

En total existían 70 videos ocultos, que alguien ha conseguido recopilar y editar en uno sólo, y que nos permite acceder a toda la información extra del juego. Por si fuera poco, ya existe también el video subtitulado en español, que desde aquí os ofrecemos para que podáis disfrutar de la magia de Lost.

Desde luego hay respuestas muy interesantes sobre Dharma y sobre lo que son los dichosos números.

Ver vídeo

Vale, ya se que todos habéis visto el video de Lost Experience que explica aquella famosa ecuación matemática que provoca el caos mundial, pero seguro que esto también os sorprende. Hace un rato me han mandado un mail con la dirección, y os traduzco el texto. Aviso: No tiene desperdicio para los “creyentes”. ¿Será verdad que los guionistas lo han sacado de aquí?

Imagino que todos estaréis familiarizados con el polinomio de Shaw-Basho.
. Vamos aquel que establece que:

Perfecto, un polinomio más… pues bien, no lo subestimeis porque tiene algo especial. Veamos que valores toma para x=0, 1, 2 etc:

Para x=0 , toma el valor 4
Para x=1, toma el valor 12,
…..
Si continuamos obtenemos la secuencia:

4, 12, 35, 89, 213, 511, 1194, 2622, 5346, 10150, 18093, …

De momento no hay nada raro, pero veamos que pasa cuando obtenemos la secuencia que resulta de restar a cada número el anterior:

8, 23, 54, 124, 298, 683, 1428, 2624, 4804, 7943, …

Esto es otra secuencia aparentemente sin ningún significado especial. ¿Pero que pasa si seguimos obteniendo secuencias de la misma manera que antes?

Realizamos la operación y restamos a cada número el anterior, y obtenemos las siguientes secuencias. Como veréis, llegamos a un punto en el que todos los números son 0. Curioso

SECUENCIA número 1: 4, 12, 35, 89, 213, 511, 1194, 2622, 5346, 10150, 18093…
SECUENCIA número 2: 8, 23, 54, 124, 298, 683, 1428, 2624, 4804, 7943, 12458…
SECUENCIA número 3: 15, 31, 70, 174, 385, 745, 1296, 2080, 3139, 4515, 6250…
SECUENCIA número 4: 16, 39, 104, 211, 360, 551, 784, 1059, 1376, 1735…
SECUENCIA número 5: 23, 65, 107, 149, 191, 233, 275, 317, 359…
SECUENCIA número 6: 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42…
SECUENCIA número 7: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
SECUENCIA número 8: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
SECUENCIA número 9: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
SECUENCIA número 10: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…

Bien, por lo tanto sólo existen 6 secuencias no nulas, es decir, cuyos valores no son ceros. Si os fijais bien en los primeros números de estas secuencias, estos números son:

4, 8, 15, 16, 23, 42

Los número chungos!!!

¿No es increible?

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Polinomios y monomios

septiembre 5, 2011 — Enrique M.Cabello

Los números y las reglas operativas de la aritmética integran una parte de una rama muy importante de las matemáticas, llamada ÁLGEBRA.

El álgebra extiende los conceptos de la aritmética de modo que es posible generalizar las reglas para trabajar con números y usar estas reglas para manipular otros símbolos además de números. No implica un cambio abrupto dentro de un campo totalmente nuevo, sino más bien es una transición suave a muchas ramas de las matemáticas en una continuación de los conocimientos obtenidos en la aritmética básica.

La idea de expresar cantidades en forma general, en vez de los términos específicos de la aritmética, es muy común. Un ejemplo típico lo constituye la fórmula para el perímetro de un rectángulo, P = 2L + 2A, en la cual la letra P representa el perímetro, L representa longitud y A representa el ancho. Se entiende que 2L = 2 (L) y 2A =2(A). Si L y A fueran números serían necesarios paréntesis o algún otro símbolo de multiplicación, pero el significado de un término tal como 2L es claro sin agregar signos o símbolos.

Todas las fórmulas son expresiones algebraicas, si bien no siempre se las identifica como tales. Las letras usadas en las expresiones algebraicas se denominan a menudo NÚMEROS LITERALES (literal implica «letra»).

Otro empleo típico de los números literales se da en el establecimiento de las leyes matemáticas de operación. Por ejemplo, las leyes asociativas, conmutativas y distributivas, explicadas en páginas anteriores con respecto a la aritmética, pueden restablecerse en términos generales usando símbolos algebraicos.

Expresiones algebraicas – Definición. Se llama expresión algebraica a una combinación cualquiera de números representados por letras, o letras y cifras, ligados entre sí por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Definiciones – Se dice que una expresión algebraica es racional, cuando ninguna de sus letras figura bajo un signo radical o con exponente fraccionario y que es entera, cuando sus letras no figuran como denominadores ni con exponentes negativos.

Una expresión algebraica está formada por signos y símbolos algebraicos.

Estos signos incluyen los numerales arábigos, los números literales, signos de operación, etcétera. Tal expresión representa un número o una cantidad. Entonces, tal como la suma de 4 y 2 es una cantidad, vale decir, 6, la suma de c y d es una cantidad, o sea, c + d. Asimismo. a/b, , ab, a – b, etcétera, son expresiones algebraicas, cada una de las cuales representa una cantidad o un número.

Expresiones más largas pueden formarse por combinaciones de varios signos de operación y de otros signos algebraicos, pero sin importar lo complejas que pueden ser estas expresiones, aun representan un número.

El valor aritmético de cualquier expresión algebraica depende de los valores asignados a los números literales.

Términos y coeficientes.

Los términos de una expresión algebraica son las partes de la expresión que se conectan por signos más y menos. En la expresión 3abx + cy – k, por ejemplo, 3abx, cy, k constituyen los términos de la expresión.

Una expresión que contiene solamente un término, tal como 3ab, se llama monomio (mono significa uno). Un binomio contiene dos términos; por ejemplo, 2r + by. Un trinomio consiste en tres términos. Toda expresión que contiene dos o más términos puede llamarse también con el nombre general de polinomio (poli significa muchos). Generalmente no se dan nombres especiales a los polinomios de más de tres términos. La expresión x³ – 3x³ + 7x + 1 es un polinomio de 4 términos. El trinomio x² + 2x + 1 constituye un ejemplo de un polinomio que tiene un nombre específico.

Monomios – Definición: Se llama monomio a toda expresión algebraica racional entera, formada por un solo número o por varios de ellos, ligados únicamente por las operaciones de multiplicación y potenciación.

Polinomio – Definición: Se llama expresión polinómica o simplemente polinomio, a toda suma algebraica de monomios y términos del polinomio a cada uno de estos monomios.

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.

Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.

En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio está compuesto de coeficientes, variables y exponentes. La suma de monomios constituye un polinomio.

Cuando los matemáticos introdujeron el álgebra y los polinomios, no pensaban que podrían ser herramientas muy útiles para la resolución de infinidad de problemas.

Por ejemplo, un campo de fútbol tiene medidas desconocidas. Con todo, un operario de mantenimiento nos cuenta que la relación entre lo ancho y lo largo menos 20 metros es igual a un medio. Asimismo, la suma de lo largo y lo ancho es de 170 metros. ¿Cuáles son las medidas del campo de fútbol?

ndentificamos la incógnita «ancho del campo» con la variable x, y la incógnita «largo del campo» con la variable y . Así pues, según el enunciado, tendríamos las ecuaciones siguientes:

De la segunda igualdad obtenemos:

Y sustituyéndolo en la primera igualdad y desarrollando:

Por lo tanto:

Así pues, las medidas del campo de fútbol serán 120 metros de largo y 50 metros de ancho.

Para sumar o restar dos monomios, es necesario que sean monomios semejantes.

Observa cómo sumamos los siguientes monomios:

7x + 4x = (7 + 4)x = 11x3xy² − 5xy² = (3 − 5)xy² = −2xy²

La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los monomios dados.

Si queremos reducir dos o más monomios no semejantes, no nos será posible. Por ejemplo, los monomios 3x²z y 7yx² no se pueden reducir. Por tanto:

La suma de ambos monomios es: 3x²z + 7yx²

La diferencia de ambos monomios es: 3x²z − 7yx²

La suma o diferencia de varios monomios no semejantes es el polinomio formado por la suma o diferencia indicada de dichos monomios.

Algunos ejemplos de sumas y diferencias de monomios son:

3x − 7x + 4x² = −4x + 4x²	8xy² + 2xy² = 10xy²
6x²z − 3zx² + xy = 3x²z + xy	8x⁴ − 3x⁴ + 5x⁴ = 10x⁴

Para sumar dos o más polinomios, agrupamos los términos semejantes y los reducimos. A continuación, añadimos los términos no semejantes.

Si queremos sumar los polinomios x3 + 8z + y + 4 y 2×3 + 5z − 12 agrupamos términos y sumamos del siguiente modo:

(x3 + 8z + y + 4) + (2×3 + 5z − 12) = (x3 + 2×3) + (8z + 5z) + y + (4 − 12) = 3×3 + 13z + y − 8

Cuando los polinomios que queremos sumar tienen muchos términos, conviene colocarlos de modo que los términos semejantes queden unos encima de otros.

Cuando queremos restar dos polinomios, cambiamos el signo de todos los términos del sustraendo y sumamos directamente.

La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado:
# por la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos polinomios, y
# por los términos no semejantes de ambos.

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)

A = – 3x² + 2x⁴ – 8 – x³ + 1/2 x
B = -5x⁴ – 10 + 3x + 7x³

2x⁴ – x³ – 3x² + 1/2 x – 8 (el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x⁴ + 7x³ + 0x² + 3x – 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x⁴ + 6x³ – 3x² + 7/2 x – 18

A + B = -3x⁴ + 6x³ – 3x² + 7/2 x – 18

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x². Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)

A = -3x² + 5x – 4 (grado 2)
B = 4x³ – 5x² + 2x + 1 (grado 3)

0x³ – 3x² + 5x – 4 (el polinomio A ordenado y completo)
+
4x³ – 5x² + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
4x³ – 8x² + 7x – 3

A + B = 4x³ – 8x² + 7x – 3

No hay términos semejantes)

A = 4x³ + 5
B = -2x + x²

4x³ + 0x² + 0x + 5
+
0x³ + x² – 2x + 0
____________________
4x³ + x² – 2x + 5

A + B = 4x³ + x² – 2x + 5

Se llama términos «semejantes» a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante.

(Suma de polinomios de varias letras)

A = -3xy² + 4 – 7x²y² – 6x²y – 5xy
B = 8xy – 2xy² + 10 + 4x³y

A + B = (-3xy² + 4 – 7x²y² – 6x²y – 5xy) + (8xy – 2xy² + 10 + 4x³y) =

-3xy² + 4 – 7x²y² – 6x²y – 5xy + 8xy – 2xy² + 10 + 4x³y =

-3xy² – 6x²y + 4 + 10 – 5xy + 8xy – 2xy² + 4x³y – 7x²y² =

-9xy² + 14 + 3xy – 2xy² + 4x³y – 7x²y²

Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma»parte literal»). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos «en columnas», porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos «uno al lado del otro» y «juntar» los términos de igual parte literal.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS I

La suma o la resta de dos o más polinomios puede realizarse sumando o restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en vertical y en horizontal o en fila.

Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios: P(x) = 7x² – 5x⁴ +3x – 15 y Q(x) = 5x³ – 7 + 9x² – 6x

En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen uno sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos semejantes:

P(x) = –5x⁴ + 0x³ + 7x² + 3x – 15

Q(x) = 5x³ + 9x² – 6x – 7

________________________________

–5x⁴ + 5x³ + 16x² – 3x – 22

En horizontal o en fila:se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, en orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de la operación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes:

P(x) + Q(x) = (–5x⁴ + 0x³ + 7x² + 3x – 15) + (5x³ + 9x² – 6x – 7) =

= –5x⁴+ 5x³ + 16x² – 3x – 22

P(x) – Q(x) = (–5x⁴ + 0x³ + 7x² + 3x – 15) – (5x³ + 9x² – 6x – 7) =

= –5x⁴– 5x³ – 2x² + 8x – 8

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) (8x² – 2x + 1) – (3x² + 5x – 8) =

b) (2x³ – 3x² + 5x – 1) – (x² + 1 – 3x) =

c) (7x⁴ – 5x⁵ + 4x² –7) + (x³ – 3x² – 5 + x) – (–3x⁴ + 5 – 8x + 2x³) =

e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =

f) (xy² –3x² – y² + x²y) – (x²y + 5x²) + (3xy² – y² – 5x²) =

2. Dados los polinomios P(x) = –7x⁴ + 6x² + 6x + 5, Q(x) = –2x² + 2 + 3x⁵ y R(x) = x³ –x⁵ + 3x², calcula:

a) P(x) + Q(x) d) P(x) – Q(x) – R(x)

b) P(x) – Q(x) e) R(x) + P(x) – Q(x)

c) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) – R(x) + Q(x)

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS I (Soluciones)

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) (8x² – 2x + 1) – (3x² + 5x – 8) = 8x² – 2x + 1 – 3x² – 5x + 8 = 5x² – 7x + 9

b) (2x³ – 3x² + 5x – 1) – (x² + 1 – 3x) = 2x³ – 3x² + 5x – 1 – x² – 1 + 3x =

= 2x³ – 4x² + 8x – 2

c) (7x⁴ – 5x⁵ + 4x² –7) + (x³ – 3x² – 5 + x) – (–3x⁴ + 5 – 8x + 2x³) =

= 7x⁴ – 5x⁵ + 4x² –7 + x³ – 3x² – 5 + x + 3x⁴ – 5 + 8x – 2x³ =

= – 5x⁵+ 10x⁴– x³+ x²+ 9x – 17

e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =

= –5z + 2y – 2z + 5y + 7x +1 + –3z – 4y – 9x + 4y – 8x + 5 =

= –10z + 7y – 10x +6

f) (xy² – 3x² – y² + x²y) – (x²y + 5x²) + (3xy² – y² – 5x²) =

= xy² – 3x² – y² + x²y – x²y – 5x² + 3xy² – y² – 5x² = 4xy² – 13x² – 2y²

2. Dados los polinomios P(x) = –7x⁴ + 6x² + 6x + 5, Q(x) = –2x² + 2 + 3x⁵ y R(x) = x³ –x⁵ + 3x², calcula:

a) P(x) + Q(x) = (–7x⁴ + 6x² + 6x + 5) + (–2x² + 2 + 3x⁵) =

= –7x⁴ + 6x² + 6x + 5 – 2x² + 2 + 3x⁵ = 3x⁵ – 7x⁴ + 4x² + 6x + 7

b) P(x) – Q(x) = (–7x⁴ + 6x² + 6x + 5) – (–2x² + 2 + 3x⁵) =

= –7x⁴ + 6x² + 6x + 5 + 2x² – 2 – 3x⁵ = –3x⁵ – 7x⁴ + 8x² + 6x + 3

c) P(x) + Q(x) + R(x) = (–7x⁴ + 6x² + 6x + 5) + (–2x² + 2 + 3x⁵) + (x³ –x⁵ + 3x²) =

= –7x⁴ + 6x² + 6x + 5 – 2x² + 2 + 3x⁵ + x³ –x⁵ + 3x² = 2x⁵ –7x⁴+ x³ + 7x² + 6x + 7

d) P(x) – Q(x) – R(x) = (–7x⁴ + 6x² + 6x + 5) – (–2x² + 2 + 3x⁵) – (x³ –x⁵ + 3x²) =

= –7x⁴ + 6x² + 6x + 5 + 2x² – 2 – 3x⁵ – x³ +x⁵ – 3x² = –2x⁵ –7x⁴ – x³ + 5x² + 6x + 3

e) R(x) + P(x) – Q(x) = (x³ –x⁵ + 3x²) + (–7x⁴ + 6x² + 6x + 5) – (–2x² + 2 + 3x⁵) =

= x³ –x⁵ + 3x² + – 7x⁴ + 6x² + 6x + 5 + 2x² – 2 – 3x⁵ =

= –4x⁵ – 7x⁴ + x³+ 11x² + 6x + 3

f) P(x) – R(x) + Q(x) = (–7x⁴ + 6x² + 6x + 5) – (x³ –x⁵ + 3x²) + (–2x² + 2 + 3x⁵) =

= –7x⁴ + 6x² + 6x + 5 – x³ +x⁵ – 3x² – 2x² + 2 + 3x⁵ = 3x⁵ – 7x⁴ – x³ + 6x + 7

amos a multiplicar los polinomios:

$P(x) = - 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3$

$Q(x) = 3 \, x^{2} + x - 4$

el producto de los polinomios P(x) * Q(x):

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline \end{array}$

lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:

$P(x) \cdot ( - 4) = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot ( - 4)$

que resulta:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ \end{array}$

ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:

$P(x) \cdot x = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot x$

al realizar la operación se colocan los resultados alineados verticalmente según las potencias de x, del siguiente modo:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ \end{array}$

hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):

$P(x) \cdot 3 \, x^{2} = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot 3 \, x^{2}$

lo que resulta:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 & -9x^2 & & \\ \end{array}$

hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 & -9x^2 & & \\ \hline -6x^5 & +13x^4 & +31x^3 & -23x^2 & -27x & +12 \end{array}$

este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado.

La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

$P(x) \,$		$Q(x) \,$
$R(x) \,$		$C(x) \,$

tal que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

ejemplo:

veamos un ejemplo para:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

que para la realización de la división representamos:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline \end{array} \end{array}$

como resultado de la división finalizada:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ -3x^4 & +6x^3 & +3x^2 & & \\ \hline 0 & 4x^3 & +7x^2 & +2x & -3 \\ & -4x^3 & +8x^2 & +4x & \\ \hline & 0 & 15x^2 & +6x & -3 \\ & & -15x^2 & +30x & +15 \\ \hline & & & +36x & +12 \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline 3x^2 & +4x & +15 \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \end{array} \end{array}$

Teorema Del Resto: El resto $R$ de la división de un polinomio $P (x)$ por un binomio de forma $(x + a)$ es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo «x» por el opuesto de «a» (es decir, por $- a$ ). Formalmente puede expresarse como:

$R = P( - a )\;$

Por ejemplo, si

$P(x) = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 3 x - 20 \,$

y el binomio divisor es

$(x-2) \,$

entonces el resto será $P( 2 )\,$ , y se obtiene el resto:

$P(2) = 3 \times 16 - 5 \times 4 + 3 \times 2 - 20 = 14 \,$

Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

[editar] Divisiones Sintéticas

Para obtener el cociente y residuo de una división de un polinomio entero en x entre un binomio de la forma x+a, sin efectuar la operación, es empleado el método de Divisiones sintéticas, también conocido como Regla de Ruffini.

[editar] Factorización de un polinomio

Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho $\scriptstyle m \le n$ factores o polinomios de grado $\scriptstyle n_k \le n$ con $\scriptstyle 1 \le k \le m$ . Así por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

$P(x) = x^5-x^3+69x^2-20x+16 = (x^3+4x^2-x+1)(x^2-4x+16)\,$

Cada uno de los polinomios de grado menor que intervienen en una factorización se llama factor. Una propiedad importante de la factorización es que la suma de grados de los factores es igual al grado del polinomio original (en el caso anterior 2+3 = 5), y por tanto se tiene la siguiente relación:

$P(x) = Q(x)R(x) \quad \Rightarrow \quad \mbox{gr}(P) = \mbox{gr}(Q) + \mbox{gr}(R)$

Dado un polinomio existen muchas formas de descomponerlo en factores, y normalmente se busca una factorización con factores del grado menor posible, llamados factores primos o polinomios irreducibles.

[editar] Monomios y polinomios irreducibles

Un polinomio se llama [completamente] descomponible si puede ser expresado como un producto de factores de grado 1 o monomios. Un polinomio será descomponible si tiene el suficientemente número de raíces. Recuérdese que un número a es raíz de un polinomio $\scriptstyle P(x)$ si $\scriptstyle P(a) = 0$ , es decir, si el valor numérico del polinomio para $\scriptstyle x = a$ es cero. Se suele decir, también, que el polinomio $\scriptstyle P(x)$ se anula para x = a. Por el teorema del resto, si $\scriptstyle a$ es una raíz del polinomio $\scriptstyle P[x]$ , entonces $P(x) \,$ es divisible por $x-a \,$ , pues el resto de dividir $\scriptstyle P[x]$ entre $\scriptstyle x-a$ es cero. A cada uno de esos valores se los suele designar $\scriptstyle x_1 , x_2, x_3$ , etc:

$P(x) = a_0 x^{n} - a_1 x^{n - 1} + \dots + a_n \,$

$P(x) = a_0 (x - x_1) (x - x_2) \dots (x - x_n) \,$

La factorización sobre de un polinomio de grado n cuyos coeficientes están definidos sobre un cuerpo es trivial, si el polinomio admite $\scriptstyle k = n$ raíces (contando multiplicidad), entonces se puede escribir exactamente como el producto de n factores, si el número de raíces en el cuerpo es <img class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/b/9/bb968160ebec5d42d8c2406012337948.png" alt="\scriptstyle k , entonces el número de factores será k+1, por ejemplo el polinomio de coeficientes racionales:

$P(x) = x^4+2x^3-5x^2-4x+6 = (x^2+2)(x+3)(x-1) \,$

Cuyas dos únicas raíces racionales son $\scriptstyle x = 1$ y $\scriptstyle x = -3$ . En cambio el mismo polinomio anterior pero considerado sobre los números reales descompone completamente ya que además se tienen dos raíces irracionales:

$P(x) = x^4+2x^3-5x^2-4x+6 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x+3)(x-1) \,$

[editar] Factorización de polinomios de coeficientes enteros

Para polinomios cuyos coeficientes están definidos sobre un anillo las cosas son más complicadas, y la existencia de raíces dependerá del número de divisores enteros que tenga el término independiente. Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio

$P(x) = x^{4} - 6 x^{3} + 4 x - 12 \;$

están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12. Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos valores da como resto cero.

$P(x) = x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x - 12 \,$

$P(1) = 1^{4} - 6 \times 1^{3} + 9 \times 1^{2} + 4 \times 1 - 12 \,$

Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con –1:

$P(-1) = (-1)^{4} - 6 \times (-1)^{3} + 9 \times (-1)^{2} + 4 \times (-1) - 12 \,$

–1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:

$P(x) = (x + 1) (x^3 - 7 x^2 + 16 x - 12) \,$

Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de $P_1(x) = (x^3 - 7 x^2 + 16 x - 12) \,$ . Se prueba de nuevo con – 1:

$P_1(-1) = (-1)^3 - 7 (-1)^2 + 16 (-1) - 12 \,$

– 1 no es raíz de $P_1(x) \,$ . Probando con 2:

$P_1(2) = 2^3 - 7 2^2 + 16 \times 2 - 12 \,$

2 es raíz de $P_1(x) \,$ y, por tanto, de $P(x) \,$ :

$P(x) = (x + 1) (x - 2) (x^2 - 5 x + 6) \,$

Apliquemos cuadrática

$P(x) = (x + 1) (x - 2) (x - 2) (x - 3) \,$

2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P(x):

$P(x) = (x + 1) (x - 2)^2 (x - 3) \,$

En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados de x.

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ü Multiplicación: para multiplicar polinomios da igual que sean o no del mismo grado, que estén o no completos, que estén o no ordenados, etc. … lo verdaderamente importante es seguir el orden de la multiplicación con rigor.

Ø El producto de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene por grado final la suma de los grados de cada uno de los polinomios factores. Así, el producto de dos polinomios de grados 5 y 7 da como resultado un polinomio de grado 12.

Ø Orden de multiplicación:

· Es conveniente, aunque no necesario, ordenar (en sentido decreciente) los polinomios factores.

· Se puede multiplicar en cualquier sentido, de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, pero siempre es más conveniente multiplicar el de menos términos por el de más términos.

· La multiplicación se va haciendo por partes, el primer término de uno de los factores por todos los términos del otro, sumar luego el producto del segundo de los términos multiplicado por todos los términos del segundo, y así sucesivamente hasta agotar todos los términos del primer factor.

· Por último se reducen todos los términos semejantes y se ordena el polinomio resultante.

ü Ejemplos:

Ø E1.- Monomio por polinomio:

Ø E2.– Polinomio por polinomio:

Sean los polinomios:

· Ordenamos:

· Uno es de tercer grado y el otro de segundo, luego el producto va ha ser de quinto grado. Como ambos tienen el mismo número de términos, da igual el orden en que hagamos el producto.

· .

· Reducimos términos semejantes y ordenamos el resultado:

· Multiplicando al revés:

· .

· Reducimos términos semejantes y ordenamos el resultado:

Ø E3.- Polinomios en línea:

· Multiplicaremos de derecha a izquierda por tener el segundo factor menos términos:

, que es el resultado final.

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POTENCIAS Y RADICALES

agosto 24, 2011 — Enrique M.Cabello

Una de las preguntas que más me suelen hacer mis alumnos cuando abordamos este tema, es por qué hay que estudiar potencias y radicales, para qué si en la vida práctica no lo vamos a utilizar. Yo suelo responderles lo mismo, hay muchas cosas en esta vida que no tienen una cierta aplicación directa, o al menos, así lo creemos. No obstante esas actividades nos preparan para otras más complicadas que sí que tienen una aplicación directa. Por ejemplo pensemos en los jugadores de fútbol, no sólo juegan con el balón, también necesitan una preparación física en la que tienen que correr, hacer abdominales, flexiones, etc. ¿Alguién ha visto alguna vez un jugador de fútbol en pleno partido ponerse a hacer una tanda de abdominales?. Yo al menos no. Pero no cabe duda que esos ejercicios le refuerzan su cintura conlo que podrán driblar mejor e incluso correr y saltar mejor.

Bien lo mismo ocurre con las matemáticas, y con alguno de sus temas.

Ahora entrando de lleno en el tema que nos ocupa a continuación vamos a definir que es una potencia y cuales son sus reglas:

De la suma repetida de un mismo número pasábamos al producto:

2+2+2=2 x 3 = 6

Del producto repetido de un mismo número pasamos al concepto de potencia:

2 x 2 x 2= 2³ =8

Formalmente:

Una potencia aⁿ de base un número real a y exponente natural n es un producto de n factores iguales a la base:

aⁿ= a·a·a….^{n factores}……·a (n>0)

aⁿ es la potencia , a es la base y n el exponente.

Por convenio a ¹=1 y a⁰=1

Signo de la potencia:

Si la base es positiva la potencia es positiva.
Si la base es negativa y el exponente es par la potencia es positiva.
Si la base es negativa y el exponente es impar la potencia es negativa.

Regla:	Ejemplo:

En el siguiente enlace tiene una página interctiva con una explicación más detallada

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COMBINATORIA

agosto 7, 2011 — Enrique M.Cabello

Imaginemos que tenemos una bolsa con 4 bolas, señaladas con las letras a,b,c y de respectivamente.

Suponga que quisiera conocer el número de formas diferentes en que podemos sacar las bolas de la bolsa.

Tal vez le interese saber el número de formas en que se puede sacar sólo 3 bolas.

También se puede preguntar sobre cuales son los posibles grupos de 3 tarjetas que se pueden extraer, sin dar consideración al orden en que salen.

Otro problema consiste en hallar el número de formas en que pueden salir 4 bolas, una tras otra, pero en cada momento se devuelva la escogida a la bolsa.

PERMUTACIONES

Se denomina permutaciones sin repetición de «m» elementos de un conjunto a las distintas alineaciones que se pueden hacer con los «m» elementos dados de modo que en cada alineación entren todos los «m» elementos del conjunto.

Dos alineaciones son distintas cuando sus elementos están ordenados de forma distinta.

Para representar las permutaciones sin repetición se emplea la siguiente notación:

P_m =m!=m(m-1)(m-2)…3.2.1

Ejemplo: De cuántas formas distintas podemos extraer las cuatro bolas de la bolsa:

P₄ =4!=4.3.2.1=24

PERMUTACIONES CON REPETICION

Si podemos repetir los elementos del conjunto estaríamos hablando de Permutaciones con repetición. Por ejemplo supongamos que deseamos formar todas las posibles formas de la combinación de una caja fuerte que consta de tres números. En este caso es factible que se repita alguna cifra por ejemplo pudiera ser que la clave fuese la 111 o la 212, etc.

Las permutaciones con repetición se representan por la notación;

P_m^a,b,c = m!/ (a!.b!.c!)

VARIACIONES SIN REPETICION

Supongamos que tenemos una competición donde participan 10 atletas. Del resultado de la misma saldrán ganadores tres concursantes. Ahora nos interesa conocer cuántos grupos de 3 atletas podemos formar teniendo en cuenta que:

No se puede repetir ninguno.

Importa el orden, en el que venzan.

Y evidentemente sólo hay tres premios.

Estamos ante lo que llamamos variaciones sin repetición.

Variaciones sin repetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n)son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por V_m,n. (n≤m).

Ejemplo:

Calcular las variacionesde 6 elementos tomados de tres en tres.

Variaciones

En nuestro ejemplo inicial estamos ante un caso de V10,3=10.9.8=720

VARIACIONES CON REPETICION

Al igual que antes supongamos que ahora sí se puede repetir los elementos. Estaríamos ante un caso de variaciones con repetición. Suponga por ejemplo que quiere formar banderas tricolores con los colores rojo,azul,blanco,amarillo,verde y negro. Como podrá observar tenemos 5 colores de los que sólo podemos seleccionar tres. No obstante podemos repetir 2 colores . Por lo tanto estamos ante un caso de variaciones con repetición:

En nuestro ejemplo VR5,3=5*5*5=125

COMBINACIONES

Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con los «n» elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden.

Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3.

Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez.

¿Cómo se calculan?

a) Combinaciones:

Para calcular el número de combinaciones se aplica la siguiente fórmula:

El termino » n ! » se denomina «factorial de n» y es la multiplicación de todos los números que van desde «n» hasta 1.

Por ejemplo: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

La expresión «Cm,n» representa las combinaciones de «m» elementos, formando subgrupos de «n» elementos.

Ejemplo: C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:

Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:

Ejemplo: C’10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos:

Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

Combinaciones con repetición:

Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:

Ejemplo: C’10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos:

Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

Combinaciones con repetición:Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:

Ejemplo: C’10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos:

Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

1.- Ejercicio

Calcular la probabilidad de acertar los 14 signos de la quiniela:

Solución:

Se aplica la Regla de Laplace (casos favorables / casos posibles). El caso favorable es tan sólo uno (acertar los 14 signos). Los casos posibles se calculan como variaciones con repetición de 3 elementos (1, X y 2), tomados de 14 en 14 (los signos que hay que rellenar).

Son variaciones y no combinaciones ya que el orden influye: no es lo mismo (1,1,X) que (1, X, 1). Y son con repetición, ya que cualquiera de los signos (1, X y 2) se puede repetir hasta 14 veces.

Por lo tanto, los casos posibles son:

Y la probabilidad de acertar los 14 resultados es:

No demasiado elevada….pero el que la sigue la consigue.

2.- Ejercicio

Y la probabilidad de acertar 12 signos de la quiniela:

Solución:

Aplicamos nuevamente la Regla de Laplace. En este caso los casos favorables se calculan como combinaciones de 14 elementos tomados de 2 en 2, de esta manera obtenemos todas las posibles alternativas de fallar 2 resultados de 14 (lo que equivale a acertar 12 resultados). Utilizamos combinaciones y no variaciones ya que el orden no importa (da lo mismo fallar el 3º y el 6º, que el 6º y el 3º)

Los casos posibles siguen siendo los mismos:

Por lo que la probabilidad de acertar 12 resultados es:

Por lo tanto, tenemos más probabilidades de acertar 12 resultados que 14 (¿será por eso por lo que pagan menos?).

3.- Ejercicio

Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).

Solución:

Se aplica la Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar de variaciones.

Por lo tanto, los casos posibles son:

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:

Algo mayor que en las quinielas…. Eso sí, se paga menos.

4.- Ejercicio

Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta.

Solución:

El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar, colocados en su orden correspondiente.

Los casos posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden influye) de 12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los 12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:

Menor que en el ejemplo 3º. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada.

RESUMEN

Probabilidad de que acertemos los 6 números de la primitiva:

C₄₉⁶ = 49! / ( 6! * (49-6)! ) =
49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 / ( 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)=13983816

Por lo tanto tenemos 1 posibilidad entre 14 millones.